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       在透鏡的Y方向，內凹的非球面柱面鏡的設計和外側全反射面輪廓線的設計如圖4的(a)和(b)所示。圖4(a)為Zemax中的光路圖，從LED射出的±40°以內這部分光線，經過柱面鏡折射之后，所有光線的反向延長線交于虛焦點“F”，經過點“F”和柱面鏡的邊緣所形成的邊緣光線，其與光軸的夾角為±19.6°，經過上表面折射后，形成±30°的出射光線。圖4(b)為用來計算外側全反射輪廓線上各點坐標值的數學模型。其中q為LED出射光線OP與光軸OO¢的夾角；Q(x,y)為外側全反射輪廓線上一點Q的坐標值，其反射線QR與光軸的夾角為d；a為全反射棱鏡入射面的拔摸角，以利于中間柱面鏡模芯的拔出，這里設置為2°。

(a)

(b)

圖4(a)內凹柱面鏡Y方向剖面在Zemax中的光路圖，(b)全反射棱鏡部分Y方向剖面的數學建模

　　當q角從90°變化到40°時，反射角d（即反射光線QR和豎直線QT之間的夾角）從0°變化到19.6°。從點Q(x,y)的角度關系，可以得出以下的式子：

        (1)

        以及：

        (2)

        從公式(1)及(2)，可得出以下的式子：

        (3)

　　其中，b為曲線BD在點Q(x,y)處的切線角，g為切線QZ與豎線QT的夾角，PQ為P點位置的折射光線，q¢為PQ與水平線之間的夾角。曲線BD的導數和切線角b的正切函數之間有如下的關系：

        (4)

　　其中，dy和dx為曲線BD在Y和X方向的微元。

根據在P點位置的斯涅爾定律[3][4]，有如下關系：

　　因此：

        (5)

　　當q角從90°變化到40°時，d從0°漸變到19.6°，假設AB的初始值為1mm，聯合公式(1)、(3)、(4)、和(5)，Q(x,y)點的坐標值可以通過數學模型的積分迭代法依次算出。

圖5：X剖面，上表面配光設計的數學模型

　　針對上表面在X方向上的配光，其數學模型如圖5所示。根據柱面鏡底部AB輪廓線上P點位置的斯涅爾定律，有

        (6)

　　再根據Q(x,y)點位置的斯涅爾定律，有如下關系式：

        (7)

　　式中，a為豎直線QV與出射光線QR的夾角，b為法線QN與豎直線QV之間的夾角，q為LED的出射角，q¢為P點位置的折射角，n為透鏡材料的折射率。為了配成蝙蝠翼狀的光強的遠場角度分布，當LED的出射角q從0°變化到76°時，輸出光線滿足以下的關系：

        ,ifq£60°(8)

        以及

        ,if60

　　再根據以下曲線CF的微分和切線QS的正切角函數之間的關系：

        (10)

　　聯合公式（6）至（10），上表面的馬鞍形曲線CF的數值坐標可以用積分迭代法一一計算出來。